Каждое число вида xn=1+2+3+…+n, n ∈ N, заменим последней цифрой sn в его десятичной записи. Из последовательности s1,s2,s3,... выпишем единицу и следующие за ней цифры до тех пор, пока не встретится уже выписанная цифра. Если при этом окажется, что выписаны не все десять цифр, то все отсутствующие допишем в порядке возрастания. Полученный отрезок из 10 различных цифр назовем перестановкой. Обозначим перестановку символом pk, если ее первая цифра является k-ой по счету единицей в последовательности s1,s2,s3,...
Пусть T - период последовательности sn; тогда разность xn +T - xn должна делиться на 10 при любых натуральных n. Имеем
|
Ясно, что T=20 является периодом. Докажем, что любой другой период не меньше, чем 20. При n=1 находим
|
Правая часть делится на 10 при T = 5, 12, 17. Однако при этих значениях T разность
|
на 10 не делится. Следовательно, T = 20 - наименьший период последовательности.
Используя соотношение xn = xn-1 + n, находим члены последовательности sn:
|
Искомые подстановки имеют вид
Наименьший период последовательности pn равен 4.