Формулировка некоторого геометрического утверждения была вписана в клетки таблицы 10×10 построчно слева направо, начиная с верхней левой клетки. Знак переноса на следующую строку не ставился, но между соседними словами одной строки помещалась пустая клетка. Криптоша решил переставлять буквы в отдельных столбцах, сдвигая их все на одну позицию вверх и перенося самую верхнюю букву вниз (при этом пустую клетку он также считал буквой). Иногда он менял местами сразу все строки, симметричные относительно средней линии, а именно 1-ю с 10-й, 2-ю с 9-й - и т.д., после чего снова брался за передвижение букв в столбцах. В результате таблица приняла представленный на рисунке вид. Прочитайте исходное геометрическое утверждение.
а | л | п | н | в | и | в | т | р | |
е | о | с | н | л | я | о | л | т | |
п | я | л | ы | е | о | ы | т | у | |
е | о | а | о | щ | д | р | р | а | е |
н | р | у | и | о | н | с | т | в | |
п | к | и | м | е | ь | р | |||
е | в | о | ю | т | х | х | н | а | с |
д | с | е | х | и | и | е | о | я | |
о | к | ь | т | ы | п | ь | п | е | н |
с | ж | с | с | е | л | о | о | о |
Подходы участников олимпиады к решению этой задачи были весьма разнообразны. Предлагалось, например, решать эту задачу перебором, вырезав из бумаги три полосы, соответствующие первым трем строкам таблицы. Были попытки «увидеть» в зашифрованном тексте какое-либо слово, имеющее отношение к геометрической тематике, например, прямая, точка и т.п. Немаловажную роль в решении сыграло то естественное соображение, что круг слов, используемых в геометрических текстах, существенно ограничен.
В определенном смысле операции сдвига букв в столбцах и отражения столбца относительно средней линии перестановочны. (Действительно, сдвинуть столбец на одну позицию вверх и затем отразить - это все равно что столбец сначала отразить, а затем сдвинуть вверх на девять позиций.) Поэтому можно считать, что сначала Криптоша передвигал буквы в столбцах, а затем, может быть, один раз отразил таблицу относительно средней линии. Рассмотрим букву я в предпоследнем столбце. Перед ней могут стоять буквы о, п, н, р, с, ы, в. Сочетание оя встречается в математических текстах в слове «постоянная», но необходимой буквы т в седьмом столбце нет. Сочетание ря может быть частью слова «прямая», но в седьмом столбце нет р. Сочетание ся (касающихся, пересекающихся и т.д.) представляется наиболее вероятным, и присутствие буквы щ в пятом столбце тому подтверждение. После того как столбцы с пятого по девятый выстроены так, чтобы прочитывалось щихся, получение ответа становится совсем простым делом.
п | о | с | л | е | д | о | в | а | т |
е | л | ь | н | ы | е | о | т | р | |
а | ж | е | н | и | я | п | л | о | |
с | к | о | с | т | и | о | т | н | |
о | с | и | т | е | л | ь | н | о | |
д | в | у | х | п | е | р | е | с | |
е | к | а | ю | щ | и | х | с | я | |
п | р | я | м | ы | х | р | а | в | |
н | о | с | и | л | ь | н | ы | е | |
е | п | о | в | о | р | о | т | у |
Мы не будем останавливаться здесь на доказательстве этого геометрического утверждения. Отметим только (большинством решавших это было упущено), что утверждение верно и в том случае, когда прямые не лежат в плоскости. Поворот осуществляется относительно прямой, перпендикулярной двум данным прямым и проходящей через точку их пересечения.