Решение
Естественно предположить, что все члены оргкомитета родились в XX веке. Отсюда сразу замечаем, что на 3, 7, 11, 15, 19 и 23 местах последовательности простых чисел расположены числа 11, 17, 47, 53, 83 и 89 соответственно.
Выясним, какие числа являются соседними с указанными шестью числами. Для этого составим таблицу их возможных "соседей". В соответствии с условием имеем:
| соседи | 11 | 13, 19, 43, 7, 3 | 17 | 13, 19 | 47 | 79, 43, 31 | 53 | 61, 37 | 83 | 79, 67, 19 | 89 | 97, 73. | |
Учитывая, что первая цифра в номере месяца принимает значения только 0 или 1, построим следующую таблицу:
15 | 02 | 20 | 45 | 42 | 13 | 26 | 67 | 44 | 30 | 56 | 82 | 53 | 33 | 62 | 32 | 73 | 63 | 92 | 49 | 75 | 70 | 98 | 49 |
| | 19 | | | | 19 | | | | 19 | | | | 19 | | | | 19 | | | | 19 | |
| | 11 | | | | 17 | | | 31 | 47 | | | 37 | 53 | 61 | | 67 | 83 | | | 73 | 89 | 97 |
| 03 | | 03 | | 13 | | 13 | | | | 43 | | | | | | | | 19 | | | | |
| 07 | | 07 | | 19 | | 19 | | | | 79 | | | | | | | | 79 | | | | |
| | | 13 | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |
| | | 19 | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |
| | | 43 | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |
где в первой строке расположено шифрованное сообщение, во второй строке - известные участки исходного сообщения, в третьей строке - ставшие известными участки ключевой последовательности, в остальных строках - возможные варианты ключевой последовательности в соответствующих позициях. При составлении таблицы учитывалось, что каждое число должно встретиться ровно один раз. Позиции чисел 31, 37, 67, 73 определяются однозначно. Их расположение однозначно определяет места для простых чисел 61 и 97.
Снова выпишем известные числа последовательности простых чисел и варианты для их соседей (первые две строки таблицы на этом шаге не понадобятся):
| | 11 | | | | 17 | | | 31 | 47 | | | 37 | 53 | 61 | | 67 | 83 | | | 73 | 89 | 97 |
| 03 | | 03 | | 13 | | 13 | | | | 43 | | | | | | | | 19 | | | | |
| 07 | | 07 | | 19 | | 19 | | | | 79 | | | | | | | | 79 | | | | |
| | | 13 | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |
| | | 19 | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |
| | | 43 | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |
Возможные соседи для числа 61 - лишь 59 и 29, а для 67 - лишь 59 и 3. Поэтому между 61 и 67 может находиться только число 59. Возможными соседями для числа 73 являются 89, 71 и 41. Ни одно из этих чисел не может быть соседом для 19, а для 79 может быть только 71. Таким образом, однозначно определяется расположение чисел 71 и 79. Для числа 47 остался только один кандидат в соседи справа - число 43. Общим соседом для 43 и 37 может быть только 41. Скорректируем таблицу с учетом сделанных выводов:
| | 11 | | | | 17 | | | 31 | 47 | 43 | 41 | 37 | 53 | 61 | 59 | 67 | 83 | 79 | 71 | 73 | 89 | 97 |
| 03 | | 03 | | 13 | | 13 | 29 | | | | | | | | | | | | | | | |
| 07 | | 07 | | 19 | | 19 | 23 | | | | | | | | | | | | | | | |
| | | 13 | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |
| | | 19 | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |
Участок последовательности 17 * * 31 имеет только два варианта доопределения: (а) 17
-19
-23
-31 и (б) 17
-13
-29
-31. Рассмотрим оба случая.
а) Выпишем фрагмент таблицы для первого случая:
| | 11 | | | 13 | 17 | 19 | 23 | 31 |
| 03 | | 03 | | | | | | |
| 07 | | 07 | | | | | | |
Очевидно, что числа 3 и 7 должны обязательно быть соседними с числом 11. Число 29 еще не встречалось, значит оно должно располагаться либо на первом месте, либо на пятом. И то и другое невозможно, так как в обоих позициях оно является соседом либо для числа 3, либо для числа 7, что не соответствует условию (отличие соседних чисел на степень двойки). Следовательно, рассматриваемый случай невозможен.
б) Выпишем фрагмент таблицы для второго случая:
05 | | 11 | | 23 | 19 | 17 | 13 | 29 | 31 |
| 03 | | 03 | | | | | | |
| 07 | | 07 | | | | | | |
Очевидно, что числа 3 и 7 должны обязательно быть соседями для числа 11. Число 5 может попасть только на первую позицию (т.к. оно не может находиться рядом с 19). Значит, в пятой позиции должно быть число 23. Ясно, что числа 3 и 7 теперь расставляются однозначно.
Таким образом, приходим к выводу, что возможен всего один вариант ключевой последовательности. Получим окончательный вариант таблицы и найдем ответ:
15 | 02 | 20 | 45 | 42 | 13 | 26 | 67 | 44 | 30 | 56 | 82 | 53 | 33 | 62 | 32 | 73 | 63 | 92 | 49 | 75 | 70 | 98 | 49 |
10 | 09 | 19 | 48 | 29 | 04 | 19 | 54 | 25 | 09 | 19 | 49 | 12 | 06 | 19 | 71 | 24 | 06 | 19 | 70 | 04 | 07 | 19 | 52 |
05 | 03 | 11 | 07 | 23 | 19 | 17 | 13 | 29 | 31 | 47 | 43 | 41 | 37 | 53 | 61 | 59 | 67 | 83 | 79 | 71 | 73 | 89 | 97 |