Разобьём последовательность {xn} на пары (х1,х2), (х3,х4).… При записи в терминах исходных последовательностей, полученная последовательность пар имеет вид
Период этой последовательности пар равен c=НОК(16,2006)=16048, так как равенство пар означает равенство их первых и равенство их вторых элементов. Поэтому, при всех натуральных n верно равенство
Покажем, что 2с – наименьшее число с таким условием.
Пусть период последовательности {xn} равен t. Тогда число 2c должно делиться на число t. (Повторение значений в последовательности со смещением на 2с шагов должно быть получено как несколько смещений с шагом t).
Если t четно, t=2k, то из верных при всех натуральных m равенств
Следуют равенства
Таким образом, k делится на наименьшее общее кратное периодов исходных последовательностей. Отсюда t=2НОК(16, 2006)=32096.
При нечетном t первая последовательность является «сдвигом» второй, что противоречит различию длин их периодов.
32096