Решение
Рассмотрим пример. Переведем обыкновенную дробь 34/275 в десятичную. Для этого выполним деление уголком (рис.). В результате найдем 34/275=0,123636363…=0,123(63). Получена непериодическую часть 123 и период 63. Обсудим, почему непериодическая часть здесь возникла, и покажем, что у дроби 1/77777 ее нет. Дело в том, что в десятичной записи дроби 34/275 цифра 3 появляется всякий раз, когда при очередном делении на 275 получается остаток 100. Мы видим (и это ключевой момент!), что здесь один и тот же остаток 100 дают различные числа: 650 и 1750. Откуда, в свою очередь, взялись эти 650 и 1750? Число 650 получилось дописыванием нуля к числу r
1=65 (остатку от деления на 275 числа 340). То есть 10r
1=650. Аналогично, 〖10r〗
2=1750, где r
2=175. Числа 650 и 1750 дают одинаковые остатки при делении на 275 из-за того, что их разность на 275 делится нацело: 1750-650=10(r
2-r
1 )⋮275. Такое возможно только потому, что числа 10 и 275 не взаимно просты. Теперь понятно, почему у дроби 1/77777 непериодической части не будет: если r
1 и r
2 – это различные остатки от деления на 77777, то произведение 10(r
2-r
1 ) на 77777 нацело не делится (число77777, в отличие от 275, взаимно просто с 10 – основанием системы счисления, поэтому непериодической части нет).
Итак, десятичная запись дроби 1/77777 имеет вид 1/77777=0,(a
1 a
2…a
n ). Найдем n. Обозначим A=a
1 a
2…a
n. Тогда 1/77777=10
-n∙A+10
-2n∙A+⋯. По формуле для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии 1/77777=A/(10
n-1). Отсюда A=(10
n-1)/77777. Поскольку A – натуральное число, требуется найти (наименьшее) натуральное n, при котором число 10
n дает остаток 1 при делении на 77777.
Заметим, что 77777=7∙11111. Числа 7 и 11111 взаимно просты. Вообще, целое число B (у нас B=10
n) при делении на 77777 дает остаток 1 в том и только том случае, когда B при делении и на 7, и на 11111 также дает остаток 1. Необходимость очевидна. Достаточность: если B=7k
1+1 и B=11111k
2+1, то 7k
1=11111k
2, а значит число k
1 делится на 11111, то есть k
1=11111m. Поэтому B=7∙11111m+1, и при делении на 77777 действительно получается остаток 1. Найдем теперь такие n, что число 10
n дает остаток 1 при делении на 7. Рассмотрим последовательность b
n=10
n. Заменим ее члены остатками от деления на 7. Получится вот что: b
1=3,b
2=2,b
3=6,b
4=4,b
5=5,b
6=1,… Каждый последующий член однозначно определяется предыдущим. Значит, {b
n } – периодическая последовательность, в которой каждый шестой член равен 1. То же проделаем для 11111. Там единице будет равен каждый 5-й член. Таким образом, остаток 1 при делении и на 7, и на 11111 получится при n=НОК(6,5)=30.