Степень двузначного числа
При возведении двузначного числа в степень 2014 последняя цифра
оказалась равна 1, а предпоследняя равна 4. Найдите все такие
двузначные числа.
- Решение
Решение
Обозначим через
-- искомое двузначное число (
цифры от 0 до 9). Очевидно, что последняя цифра искомого числа равна 1 или 9.
Рассмотрим два случая:
1. 
Заметим, что
^{2014} = \underbrace{(10x + 1)\cdot\ldots\cdot (10x + 1)}_{2014} = A + 2014\cdot 10x + 1})
и при этом число 
делится нацело на 100. Следовательно, предпоследняя цифра определяется слагаемым 
Откуда 
или 
2. 
Заметим, что
^{2014} = (10(x+1) - 1)^{2014} = \\ =
\underbrace{(10(x+1) - 1)^{2014}\cdot\ldots\cdot (10(x+1) - 1)^{2014}}_{2014} =\\ = A - 2014\cdot 10(x+1) + 1
\end{array}
})
и при этом число делится нацело на 100. Следовательно, предпоследняя цифра определяется слагаемым .})
Откуда 
или 
.
Суммируя полученное, приходим к ответу.
- Ответ