Ищем функции по заданным условиям

Найдите все такие функции , которые одновременно удовлетворяют трем условиям: 

1) для любого ; 

2) ; 

3) для любых действительных .

• Подсказка

Подсказка

Рассмотреть несколько частных случаев: ; и и сделать вывод.
• Решение

Решение

В тождестве из условия задачи 

 

положим Тогда Поскольку , находим 

 

Положив затем в (1), получим, с учетом (2), что 

 

Наконец, при тождество (1) (с учетом (2)) примет вид Значит, необходимо, чтобы при 0 }" />, так как по условию 0 }" /> для 0 }" />. Далее, согласно (3), и при Окончательно, для любого действительного Легко убедиться, что такая действительно удовлетворяет требованиям 1), 2), 3) из условия задачи.
• Ответ

Ответ