Обозначим длину искомой медианы AD за m. На прямой AD вне треугольника отметим такую точку F, что OD=DF=m/3. Четырехугольник OBFC – параллелограмм, так как его диагонали точкой пересечения делятся пополам (по условию BD=DC, и OD=DF по построению). В параллелограмме противоположные углы равны, следовательно:
В четырехугольнике ABFC, по условию, а также в силу равенства (1), сумма противоположных углов BAC и CFB равна . Значит, вокруг четырехугольника ABFC можно описать окружность.
Известно, что если две хорды окружности, BC и AF, пересекаются в точке D, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды, то есть . Отсюда
