Функция определена на множестве и принимает на нем положительные значения. Известно, что для любых точек A и B на графике функции площади треугольника AOB и трапеции равны между собой () – основания перпендикуляров, опущенных из точек A и B на ось абсцисс; O – начало координат). Найдите все такие функции. Решение обоснуйте.
Пусть M – точка пересечения отрезков OB и . Так как площади треугольника AOB и трапеции равны между собой, то площади треугольников AMO и трапеции также равны между собой. Отсюда следует, что равны и площади треугольников и . Пусть абсциссы точек и равны x и t соответственно. Тогда имеем равенство . При фиксированном t получаем вывод:
