На сторонах BC и CD квадрата ABCD выбраны точки E и F таким образом, что угол EAF равен . Длина стороны квадрата равна 1. Найдите периметр треугольника CEF. Решение обоснуйте.
Возможны различные подходы к решению данной задачи, например, сделать дополнительные внешние построения. Либо воспользоваться следующими свойствами симметрии: 1) композиция двух осевых симметрий относительно пересекающихся прямых – это поворот на удвоенный угол между прямыми; 2) при симметрии сохраняются величины углов; 3) при симметрии сохраняются длины отрезков.
Если отразить точку D относительно прямой AF, а затем относительно прямой AE, то она перейдет в точку B. Действительно, композиция двух осевых симметрий относительно пересекающихся прямых – это поворот на удвоенный угол между прямыми. То есть в нашем случае эти две симметрии эквивалентны повороту на угол относительно точки A. Это означает, что образ точки D при симметрии относительно AF и образ точки B при симметрии относительно AE – это одна и та же точка; на рисунке она обозначена K. Из точки K отрезки AE и AF видны под углом (при симметрии сохраняются величины углов, поэтому, например, углы ABE и AKE равны). Значит точка K – это основание перпендикуляра, опущенного из точки A на прямую EF. И, наконец, поскольку BE=EK и DF=FK (при симметрии длины отрезков сохраняются), видим, что периметр треугольника CEF равен сумме длин сторон BC и CD квадрата.
