Пусть A и B – некоторые числовые множества, а множество представляет собой их сумму. (Другими словами, множество C состоит из всевозможных сумм элементов множеств A и B. Если, например, , , то .) Известно, что , а максимальный элемент множества A равен . Докажите или опровергните следующие утверждения: 1) множество A и множество B содержат конечное число членов; 2) все элементы множеств A и B – целые числа; 3) .
1) верно: если множество A или множество B бесконечно, то и множество C будет бесконечно. Поэтому можем обозначить через a, b, c максимальные элементы этих множеств соответственно и заметить для решения п.3, что a+b=c. Отдельно отметим, что такие множества существуют: например, , . 2) верно: через разложение по биному доказывается, что a целое. Тогда если бы B содержало нецелые, то и C содержало бы нецелые. Поэтому все элементы множества B целые. Отсюда аналогично получаем, что все элементы множества A целые. 3) утверждение верно. Заметим, что , , где Тогда