Основания трапеции ABCD связаны соотношением AD=4⋅BC, сумма углов ∠A+∠D=. На боковых сторонах выбраны точки M и N таким образом, что CN:ND=BM:MA=1:2. Перпендикуляры, восстановленные в точках M и N к боковым сторонам трапеции, пересекаются в точке O. Найдите AD, если AO=1.
Продлим боковые стороны до их пересечения в точке S. Угол S равен . Треугольники ASD и BSC подобны; коэффициент подобия равен 4. Кроме того, по условию AM вдвое длиннее BM. Отсюда несложно заметить, что BS=BM. Поэтому AM=MS. Следовательно, MO – серединный перпендикуляр к стороне AS. Аналогично, NO – серединный перпендикуляр к DS. Таким образом, точка O – центр описанной около треугольника ASD окружности, а AO – ее радиус. Запишем формулу для радиуса описанной окружности: . Отсюда
