Докажем, что таких функций не существует. Предположим, что существуют функции f(x,y) и g(x,z) такие, что для любых действительных значений x, y, z выполняется равенство f(x,y)-g(x,z)=|y-z|. Положим x=0. Обозначим f(0,y)=F(y), g(0,z)=G(z).
Тогда F(y)-G(z)=|y-z|. Очевидно, что хотя бы одна из функций F(y) или G(z) не является константой. Пусть G(z) не является константой. Тогда существуют такие , что . Но тогда , и для любого y выполняется . Очевидно, что это не так. Следовательно, таких функций не существует.