Решение
Для |x| < 3 решения легко находятся перебором: {(0;-1);(0;1);(-1;-1);(-1;1)}.
Пусть теперь |x| < 4. Рассмотрим два случая.
Случай 1: x = 2t – четно. Тогда x2 + x + 1 = 4t2 + 2t +1 = (2t +1)2 – 2t. Из последнего равенства вытекает, что x2 + x + 1 отличается от полного
квадрата (2t +1)2 на величину 2t . Однако, от соседних полных квадратов
(2t +2)2 и (2t)2 число (2t +1)2 отличается на величину 4t + 3 и 4t +1соответственно. Точнее если t ≥ 2, то
(2t)2 < (2t +1)2 - 2t < (2t +1)2 ,
если же t ≤ -2, то
(2t + 1)2 < (2t +1)2 - 2t < (2t)2.
Случай 2: x = 2t +1 – нечетно. Тогда
x2 + x + 1 = 4t2 + 6t +3 = (2t +2)2 – 2t - 1.
Из последнего равенства вытекает, что x2 + x + 1 отличается от полного
квадрата (2t +2)2 на величину 2t +1. Однако, от соседних полных квадратов
(2t +1)2 и (2t +3)2 число (2t +2)2 отличается на величину 4t + 3 и 4t + 5
соответственно. Точнее
если t ≥ 2, то
(2t + 1)2 < (2t +2)2 - 2t - 1 < (2t + 2)2 ,
если же t ≤ -2, то
(2t + 2)2 < (2t +2)2 - 2t - 1 < (2t + 1)2.
Итак, для |x| ≥ 4 уравнение не имеет решений в целых числах.