Архив задач

6.10-9.2008

Два спортсмена начали бег по круговой дорожке в одном направлении из одной точки. После того, как они повстречались во время движения 4 раза (не считая момента начала движения), второй спортсмен, бегущий медленнее, развернулся и побежал в обратном направлении. Встретившись после этого еще 7 раз, оба спортсмена оказались в точке старта. Сколько кругов пробежал каждый из спортсменов, если вместе они пробежали 35 кругов?

  • Подсказка

    • Подсказка

    Заметим, что к моменту встречи спортсмены вместе пробежали 35-7=28 километров. Используя это, найти отношение скоростей спортсменов.
  • Решение

    • Решение

    Пусть длина дорожки равна {S} , скорости бегунов {u} , {v} , причем {u\ge v} . Пусть также второй бегун к моменту 4-й встречи пробежал {x} кругов. Тогда получаем уравнение
    { \frac{xS}v=\frac{(x+4)S}u. }
    Кроме того, к этому моменту оба спортсмена пробежали вместе {35-7=28} кругов (так как при беге навстречу друг другу каждой встрече соответствует один круг на двоих спортсменов). Значит,
    { x+(x+4)=28, }
    откуда {x=12} . Тогда уравнение принимает вид
    { \frac{12S}v=\frac{16S}u, }
    откуда {u=\frac43\,v} .
         Теперь найдем, какую часть из семи кругов пробежал каждый спортсмен при движении навстречу друг другу. Из полученного равенства {u=\frac43\,v} следует, что первый спортсмен пробежал 4 круга, а второй - 3 круга.
         Значит, всего первый бегун пробежал {16+4=20} кругов, а второй бегун - {12+3=15} кругов.
  • Ответ

    • Ответ

    20 и 15 кругов.