Архив задач

7.11-10-9.2008

В центре квадрата со стороной 3 расположен другой квадрат со стороной 1 так, что стороны квадратов параллельны. Во внешнем квадрате в серединах двух противоположных сторон сделаны отверстия, величины которых равны диаметру некоторого шара. Саша и Миша закатывают внутрь квадрата шар через одно из отверстий (это отверстие они закрывают) и ждут, когда шар выкатится через другое отверстие, считая число ударов шара о стенки обоих квадратов. Предполагается, что при ударе о стенку угол ``падения'' равен углу ``отражения'' и что шар ни разу не ударялся об углы квадратов. Саша насчитал 15 ударов, а Миша 16. Кто из мальчиков заведомо неправ и почему?

  • Подсказка

    • Подсказка

    Если количество ударов будет четным, то шар выкатится из второго отверстия под тем же углом, что и вкатился из первого. Попробуйте теперь представить, что из второго отверстия вкатывается такой же шар под тем же углом. Встретятся ли шары?
  • Решение

    • Решение

    Будем считать, что отверстие, через которое вкатился шар, находится слева. Пусть шар влетел в квадрат под углом {\alpha} к горизонтальному направлению. Тогда после каждого удара шар движется по прямой, расположенной под углом либо {\alpha} , либо {\pi-\alpha} к горизонту. Точнее, после первого (и каждого нечетного) удара - под углом {\alpha} , после каждого четного удара - под углом {-\alpha} .
         Предположим, шар сделал 16 ударов. Тогда после 16-го удара он двигался под углом {\alpha} к горизонту, и так и выкатился из квадрата - под тем же направлением {\alpha} , что и вкатился.
         Если в квадрат справа закатить другой шар, то он пройдет по траектории первого шара в обратном направлении и выкатится слева. При этом в начальный момент времени, и в каждый последующий момент, местонахождение (и вектор скорости) второго шара центрально симметрично местонахождению (и вектору скорости) первого шара относительно центра квадратов. Отсюда видно, что траектория движения шара центрально симметрична относительно центра квадратов.
         Два шара движутся по траектории навстречу друг другу, поэтому в какой-то момент времени они встретятся. Рассмотрим точку встречи. Она центрально симметрична самой себе относительно центра квадратов. Поэтому эта точка совпадает с центром квадратов. Но шар не может пройти через эту точку, так как мешает внутренний квадрат. Противоречие. Итак, Миша заведомо неправ.
  • Ответ

    • Ответ

    Миша заведомо неправ.