Архив задач

1.10-9.2006

В арифметической прогрессии, все члены которой являются целыми числами, второй член равен 4, а сумма квадратов третьего и четвертого членов меньше 16. Чему может быть равен первый член прогрессии?

  • Подсказка

    • Подсказка

    Выразить третий и четвертый члены арифметической прогрессии через второй член и разность.
  • Решение

    • Решение

    По условию {a_3^2+a_4^2<16} . Выражая третий и четвертый члены прогрессии через второй, равный 4, получим:
    { a_3^2+a_4^2=(a_2+d)^2+(a_2+2d)^2=(4+d)^2+(4+2d)^2<16. }
    Раскрывая скобки, получим неравенство
    { 5d^2+24d+16<0. }
    Его решением является интервал {-4<d<-4/5} . По условию все члены прогрессии являются целыми числами. Следовательно, и разность прогрессии {d} - тоже целое число. Отсюда {d\in\{-3,-2,-1\}} . Так как {a_1=a_2-d=4-d} , то .
  • Ответ

    • Ответ

    5, 6, 7.