Архив задач

1.10-9.2005

Из пункта А в пункт В против течения реки отправляется пароход.
Одновременно из В в А отправляется лодка, которая, пройдя треть
расстояния от В до А, встречает пароход. В пункте В пароход сразу
поворачивает обратно, обгоняет лодку и прибывает в А в момент, когда
лодка находится на расстоянии 20 км от А. Если бы скорость лодки
относительно воды была в три раза больше, то первая встреча
произошла бы на середине пути между А и В. Определить расстояние
между пунктами А и В.

  • Подсказка

    • Подсказка

    Ввести четыре переменные: {S} - расстояние между A и B, {v_1} и {v_2} - собственные скорости парохода и лодки соответственно, {v_0} - скорость течения реки. Получить систему из трех уравнений, из которых определить переменную {S} . Учесть, что скорость движения по (против) течения реки равна собственной скорости плюс (минус) скорость течения.
  • Решение

    • Решение

    Пусть расстояние между А и В равно {S} , собственные скорости парохода и лодки равны {v_1} и {v_2} соответственно, а скорость течения равна {v_0} . Тогда можно составить следующую систему уравнений
    { \left\{\begin{array}{l} \frac{1/3\cdot S}{v_2+v_0}=\frac{2/3\cdot S}{v_1-v_0},\\ \frac{S-20}{v_2+v_0}=\frac{S}{v_1-v_0}+\frac{S}{v_1+v_0},\\ \frac{1/2\cdot S}{3v_2+v_0}=\frac{1/2\cdot S}{v_1-v_0}. \end{array}\right. }
    Все три уравнения получаются приравниванием друг к другу времени движения, вычисленного двумя различными способами.
         Особенность этой системы в том, что она содержит три уравнения и четыре неизвестных. Найти все ее решения невозможно. Оказывается, можно найти неизвестную {S} , не находя других неизвестных.
         Решим систему. Из первого и третьего уравнения получаем
    { 2(v_2+v_0)=v_1-v_0,\quad 3v_2+v_0=v_1-v_0. }
    Отсюда следует, что {v_1=5v_0} , {v_2=v_0} . Подставив полученные равенства во второе уравнение, получим уравнение
    { \frac{S-20}{2v_0}=\frac{S}{4v_0}+\frac{S}{6v_0}. }
    Отсюда уже можно найти {S=120} .
  • Ответ

    • Ответ

    120 км.