Архив задач

3.11-10-9.2005

Доказать, не пользуясь калькулятором, что {100!>10^{145}} .

  • Подсказка

    • Подсказка

    Число {n!} определяется равенством
    {n!=1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot n.}

         Выписать сомножители числа {100!} и разбить их на группы: сначала меньшие 10, потом сомножители от 10 до 20, затем от 20 до 30, и т.д. Оценить снизу сомножители первой группы, затем второй, и так далее. Полученную оценку упростить и оценить снизу аналогичным образом.
  • Решение

    • Решение

    Разобьем произведение чисел от 1 до 100 на группы по 10 и оценим сомножители в каждой группе:
    { 100!=(1\cdot2\cdot\ldots\cdot9)\cdot (10\cdot11\cdot\ldots\cdot19) \cdot\ldots\cdot(90\cdot91\cdot\ldots\cdot99)\cdot100\ge }

    { \ge 1\cdot2\cdot\ldots\cdot9\cdot10^{10}\cdot20^{10}\cdot\cdot\ldots90^{10}\cdot100= (1\cdot2\cdot\ldots\cdot9)^{11}\cdot10^{92}. }
    Вычислим в столбик {9!=362880} . Тогда
    { (9!)^{11}=362880^{11}\ge(10^5)^{11}=10^{55}. }
    Отсюда {100!\ge10^{55}\cdot10^{92}=10^{147}>10^{145}} .
  • Ответ

    • Ответ

    {100!\ge10^{55}\cdot10^{92}=10^{147}>10^{145}} .