Архив задач

6.10-9.2002

На заводе было несколько одинаковых прессов, штампующих детали, и
завод выпускал 6480 деталей в день. После реконструкции все прессы
заменили на более производительные, но также одинаковые, а их
количество увеличилось на 3. Завод стал выпускать в день 11200
деталей. Сколько прессов было на заводе первоначально?

  • Подсказка

    • Подсказка

    Составить неравенство, связывающее производительности одного пресса. Воспользоваться тем, что количества прессов и деталей, выпущенных в день, описываются натуральными числами. Применить каноническое разложение (разложение на простые сомножители) и прямой перебор.
  • Решение

    • Решение

    Пусть на заводе имелось {n} прессов. Тогда производительность одного пресса равнялась {\frac{6480}n} деталей в день. Соответствующие показатели после реконструкции равны {n+3} и {\frac{11200}{n+3}} . По условию новые прессы более производительные, поэтому
    { \frac{6480}n < \frac{11200}{n+3}. }

         Воспользуемся тем, что производительности прессов являются натуральными числами (число деталей в день). Поэтому дроби {\frac{6480}n} и {\frac{11200}{n+3}} должны быть натуральными числами. Следовательно, {n} делит 6480 и {n+3} делит 11200. Рассмотрим канонические разложения чисел 6480 и 11200:
    { 6480=2^4\cdot3^4\cdot5,\quad 11200=2^6\cdot5^2\cdot7. }
    Из того, что {n+3} делит 11200, следует, что {n} не делится на 3. Тогда {n} делит {2^4\cdot5} и {n+3} делит {2^6\cdot5^2\cdot7} .
         Из первого условия получаем что {n\in\{1,2,4,8,16,5,10,20,40,80\}} . Перебором всех вариантов находим, что из этих чисел второму условию удовлетворяют числа {n\in\{1,2,4,5\}} . Из найденных чисел только {n=5} удовлетворяет условию {\frac{6480}n < \frac{11200}{n+3}} .
  • Ответ

    • Ответ

    {n=5} .