Архив задач

4.10-9.2001

Известно, что для некоторых действительных чисел {x} и {y} выполняется равенство
{ x\sqrt{1+y^2}+y\sqrt{1+x^2}=2\frac{11}{12}. }
Найти число {xy+\sqrt{(1+x^2)(1+y^2)}} .

  • Подсказка

    • Подсказка

    Обозначить {x\sqrt{1+y^2}+y\sqrt{1+x^2}=a} , {xy+\sqrt{(1+x^2)(1+y^2)}=b} и сравнить {a^2} и {b^2} .
  • Решение

    • Решение

    Обозначим {x\sqrt{1+y^2}+y\sqrt{1+x^2}=a} , {xy+\sqrt{(1+x^2)(1+y^2)}=b} . Тогда
    { a^2=x^2+x^2y^2+y^2+y^2x^2+2xy\sqrt{1+y^2}\sqrt{1+x^2}, }

    { b^2=x^2y^2+1+x^2+y^2+x^2y^2+2xy\sqrt{1+y^2}\sqrt{1+x^2}. }
    Замечаем, что {b^2=a^2+1.} Так как {a=2\frac{11}{12}} , то {b^2=\frac{1369}{144}.} При этом {b>0} , поскольку {\sqrt{1+y^2}\sqrt{1+x^2}>|xy|} . Следовательно, {b=3\frac{1}{12}} .
  • Ответ

    • Ответ

    {3\frac{1}{12}} .