Архив задач

5.9.2001

Доказать, что неравенство
{ 4\sin 3\alpha+5\ge5\sin\alpha+4\cos2\alpha }
выполняется при любом действительном числе {\alpha} .

  • Подсказка

    • Подсказка

    Преобразуя неравенство, добиться того, чтобы в левой части стоял 0, а в правой -- квадрат некоторого выражения
  • Решение

    • Решение

    Воспользовавшись формулами синуса тройного и косинуса двойного угла, получим равносильные неравенства
    { 4(3\sin \alpha-4\sin^3\alpha-1+2\sin^2\alpha)\ge5(\sin\alpha-1) }

    { 4(\sin \alpha-1)(-4\sin^2\alpha-2\sin\alpha+1)\ge5(\sin\alpha-1). }
    Если {\sin\alpha=1,} то неравенство, очевидно, выполняется. В случае {\sin\alpha < 1} имеем равносильные неравенства
    { 4(-4\sin^2\alpha-2\sin\alpha+1)\le5 }

    { (4\sin\alpha+1)^2\ge 0. }
    Последнее неравенство всегда справедливо.
  • Ответ

    • Ответ

    см.решение.