Архив задач

3.10-9.2000

Первая и вторая труба наполняют бассейн объемом 260 л, а третья и
четвертая --- бассейн объемом 370 л. Третья труба подает на 45 л в
минуту больше, чем первая, а четвертая --- вдвое больше, чем вторая.
Все четыре трубы открываются одновременно. Первая, вторая и
четвертая трубы открываются также одновременно, но позже третьей,
которая работала 2 минуты. При этом оба бассейна оказываются
наполненными. Все четыре трубы вместе подают 200 л в минуту. Сколько
времени работала первая труба?

  • Подсказка

    • Подсказка

    Составить уравнения, исходя из условия, приняв за неизвестные производительности труб.
  • Решение

    • Решение

    Обозначим производительности 1-ой, 2-ой, 3-ей и 4-ой труб {a, b, c, d} л/мин соответственно {a,b,c,d>0} . Поскольку первая и вторая труба наполняют бассейн за {\frac{260}{a+b}} минут (в это же время работала и четвертая труба), то из условия получим систему
    { \left\{ \begin{array}{l} c=a+45\\ d=2b\\ a+b+c+d=200\\ 370=d \cdot \frac{260}{a+b}+2c. \end{array} \right. }

         Выражения для {c} и {d} подставим в третье уравнение системы:
    { a+b+a+45+2b=200, }
    откуда {2a+3b=155} .
         Все переменные выразим через {b} : {a=\frac{155-3b}{2}} , {c=\frac{245-3b}{2}} , {d=2b} , откуда получаем ограничения на переменные: {0<b<\frac{155}{3},\; b<\frac{245}{3}} , т.е {0<b<\frac{155}{3}} . Подставим указанные выражения в четвертое уравнение системы:
    { 370=\frac{1040b}{155-b}+245-3b. }
    Из этого уравнения с учетом ограничений следует
    { 370(155-b)=1040b+(245-3b)(155-b), }

    { (155-b)(3b+125)=1040b, }

    { -3b^2+340b+19375=1040b, }

    { 3b^2+700b-19375=0, }

    { \frac{D}{4}=122500+58125=180625=425^2, }

    { \left[ \begin{array}{l} b=\frac{-350+425}{3}=25,\\ b=\frac{-350-425}{3}=-\frac{775}{3}. \end{array} \right. }
    Отрицательное значение {b} не удовлетворяет упомянутым ограничениям. Значит, {b=25} . Откуда {a=\frac{155-3 \cdot 25}{2}=40} . Следовательно, искомое время работы второй трубы {t=\frac{260}{40+25}=4} минуты.
  • Ответ

    • Ответ

    4 минуты.