Архив задач

7.10-9.2000

Известно, что в десятичной записи натурального числа {a} используются цифры
{ 0,2,3,4,4,7,8,8,9 }
(с учетом частоты встречаемости), а само это число является шестой степенью некоторого натурального числа {x} . Найти число {x} .

  • Подсказка

    • Подсказка

    Использовать признак делимости на 9 и то, что {a} лежит в пределах от 100000000 до 999999999
  • Решение

    • Решение

    Поскольку {a} - девятизначное число, то {100000000< a <999999999,} а так как {a=x^6} , то {20<x<40} ({20^6=64000000} - восемь знаков, {40^6=4096000000} - десять знаков).
         Сумма цифр {a} равна {0+2+3+4+4+7+8+8+9=45} , следовательно, {a} делится на 3. Значит и {x} делится на 3. Имеем 7 кандидатов:
    { 21,24,27,30,33,36,39. }
    Их можно просто перебрать. Для сокращения количества вариантов перебора можно использовать такое свойство:
          если число {x} оканчивается на цифру {n} , то число {x^6} оканчивается на ту же цифру, что и число {n^6} . По этому признаку отсеиваются кандидаты {21, 36 , 39} , так как среди цифр {a} нет 1 и 6. Кандидат 30, очевидно, отпадает сразу. Среди оставшихся трех выбираем нужный: {x=27} .
  • Ответ

    • Ответ

    {x=27} .