Архив задач

5.11-10-9.1999

Решить систему уравнений
{ \left\{\begin{array}{l} x^2+2xy-8y^2-6x+18y-7=0,\\ 2x^2-5xy-10y^2-3x+9y+7=0. \end{array}\right. }

  • Подсказка

    • Подсказка

    Сложить уравнения системы и путем группировки разложить полученное выражение в левой части на множители.
  • Решение

    • Решение

    Сложим два уравнения системы:
    { x^2-xy-6y^2-3x+9y=0, }

    { (x+2y)(x-3y)-3(x-3y)=0, }

    { (x+2y-3)(x-3y)=0. }
    Решение разбивается на два случая.
         1. {x+2y-3=0} . Тогда {x=-2y+3} . Подставляя в первое уравнение системы, получим
    { (-2y+3)^2+2(-2y+3)y-8y^2-6(-2y+3)+18y-7=0, }

    { 4y^2-12y+9-4y^2+6y-8y^2+12y-18+18y-7=0, }

    { 8y^2-24y+16=0, }

    { y^2-3y+2=0, }

    { y=1,\; y=2. }
    При этом {x=1} и {x=-1} соответственно.
         2. {x-3y=0} . Тогда {x=3y} . Подставляя в первое уравнение системы, получим
    { 9y^2+6y^2-8y^2-18y+18y-7=0, }

    { 7y^2-7=0, }

    { y=1,\; y=-1. }
    При этом {x=3} и {x=-3} соответственно.
  • Ответ

    • Ответ

    {(1,1)} , {(-1,2)} , {(3,1)} , {(-3,-1)} .