10-1-12

Заданы 10 различных натуральных чисел, не превосходящих 23.

Докажите, что среди них найдутся четыре различных числа a,b,c,d , для

которых (a + b)/2 = (c + d)/2.

Решение

Пусть a₁,…,a₁₀– натуральные ≤ 23. Имеется

9 + 8 + ... + 1 = 45 различных пар чисел (a₁, a₂), (a₁, a₃),…, (a₉, a₁₀). Для

каждой пары сумма входящих в нее чисел больше 2 и меньше 46.

Следовательно, по принципу Дирихле найдутся две различные пары с

одинаковой суммой. Пусть теперь (a _i1, a_j1), (a_i2, a_j2), i₁< j₁, i₂< j₂

две такие пары. Осталось заметить, что в этих двух парах не может быть

совпадающих чисел (легко доказывается от противного). Тогда полагаем

a = a _i1, b = a_j1, с = a_i2,d = a_j2

и имеем требуемое равенство (a + b)/2 = (c + d)/2.

Что и требовалось доказать.