Архив задач

Последовательности. А что там дальше?

Последовательность {u_n } ({n = 0,1,2,\ldots )} определяется следующим образом: {u_0 = 1} , {u_1 = 2} , {u_{n + 2} = u_{n + 1} + u_n _{ }} при четном {n} , и {u_{n + 2} = - u_{n + 1} + u_n _{ }} при нечетном {n} . Найдите {u_{2013} } . Решение обоснуйте.


  • Подсказка

    • Подсказка

    Выразить {u_{n+2}} через более ранние элементы (относително {n} ), чем в условии.
  • Решение

    • Решение

    Пусть {n} - нечетное. Тогда справедливы соотношения:
         

    { u_{n + 2} = - u_{n + 1} + u_n = - (u_n + u_{n - 1} ) + u_n = - u_{n - 1} . }

    Тогда {n - 1} - четное и {u_{n - 1} = u_{n - 2} + u_{n - 3} = - u_{n - 3} + u_{n - 4} + u_{n - 3} = u_{n - 4} }
         То есть, {u_{n + 2} = - u_{n - 1} = - u_{n - 4} }
         Следовательно, {u_{2013} = u_{2 + 6 \cdot 335} = ( - 1)^{335}u_2 = - (u_1 + u_0 ) = - 3}

  • Ответ

    • Ответ

    {u_{2013} = - 3} .