Архив задач

Упражнение по тригонометрии

Пусть
{ a = \sin \left( {\frac{\pi }{12}} \right)\sin \left( {\frac{5\pi }{12}} \right)\sin \left( {\frac{7\pi }{12}} \right)\sin \left( {\frac{11\pi }{12}} \right) }
Покажите, что число {1 + \frac{1}{a} + \frac{1}{a^2} + \frac{1}{a^3}} является целым и разложите его на простые множители.

  • Подсказка

    • Подсказка

    Использовать формулы приведения
  • Решение

    • Решение

    Используя формулы приведения и формулу для синуса двойного угла:
    { a = \sin \left( {\frac{\pi }{12}} \right)\sin \left( {\frac{\pi }{2} - \frac{\pi }{12}} \right)\sin \left( {\frac{\pi }{2} + \frac{\pi }{12}} \right)\sin \left( {\pi - \frac{\pi }{12}} \right) = }

    { =\sin \left( {\frac{\pi }{12}} \right)\cos \left( {\frac{\pi }{12}} \right)\cos \left( {\frac{\pi }{12}} \right)\sin \left( {\frac{\pi }{12}} \right) = \frac{1}{4}\sin ^2\frac{\pi }{6} = \frac{1}{16} }

         
    { 1 + \frac{1}{a} + \frac{1}{a^2} + \frac{1}{a^3} = 1 + 16 + 16^2 + 16^3 = 17 + 16^2 \cdot 17 = 17 \cdot 257 }
  • Ответ

    • Ответ

    {a = \frac{1}{16}} , {a = 17 \cdot 257} .