Архив задач

3.10.2008

Сколько натуральных чисел от 1 до 222222 содержат в своей десятичной записи цифру 0?

  • Подсказка

    • Подсказка

    Разбить все числа от 1 до 222222 на группы так, чтобы подсчет количества требуемых чисел внутри каждой группы велся в соответствии с некоторой закономерностью. Иногда видно, что подсчет вести попросту неудобно. Может помочь следующий прием: чтобы найти количество чисел, удовлетворяющих некоторому условию, находят количество чисел, не удовлетворяющих этому условию, и затем искомую величину находят вычитанием.
  • Решение

    • Решение

    Подсчитаем сначала количество натуральных чисел от 1 до 222222, которые не содержат в своей десятичной записи цифру 0. Легко понять, что количество {n} -значных чисел с таким условием равно {9^n} . Количество натуральных чисел от 1 до 99999, которые не содержат в своей десятичной записи цифру 0, равно
    { 9+9^2+\ldots+9^5=\frac{9(9^5-1)}{9-1}=66429. }
    Далее, 1) количество натуральных чисел от 100000 до 200000, которые не содержат в своей десятичной записи цифру 0, равно {9^5} ,
         2) количество натуральных чисел от 200000 до 220000, которые не содержат в своей десятичной записи цифру 0, равно {9^4} ,
         3) количество натуральных чисел от 220000 до 222000, которые не содержат в своей десятичной записи цифру 0, равно {9^3} ,
         4) количество натуральных чисел от 222000 до 222200, которые не содержат в своей десятичной записи цифру 0, равно {9^2} ,
         5) количество натуральных чисел от 222200 до 222220, которые не содержат в своей десятичной записи цифру 0, равно {9^1} ,
         6) количество натуральных чисел от 222220 до 222222, которые не содержат в своей десятичной записи цифру 0, равно 2. Итак, общее количество натуральных чисел от 1 до 222222, которые не содержат в своей десятичной записи цифру 0, равно
    { (9+9^2+\ldots+9^5)\cdot2+2=66429\cdot2+2=132860. }
    Следовательно, количество натуральных чисел от 1 до 222222, которые содержат в своей десятичной записи цифру 0, равно
    { 222222-132860=89362. }
  • Ответ

    • Ответ

    89362.