Архив задач

4.11-10.2008

Решить уравнение {2\;{\rm tg} x+3\;{\rm ctg} x-2\sin x-3\cos x+5=0.}

  • Подсказка

    • Подсказка

    Применяя известные тригонометрические соотношения, прийти к уравнению, в котором правая часть - 0, а левая раскладывается на множители, включающие {\sin x} и {\cos x} .
  • Решение

    • Решение

    ОДЗ описывается условиями {\sin x\ne0} , {\cos x\ne0} , т.е. { x\ne\frac{\pi n}2} .
         Преобразуем уравнение {2(\;{\rm tg} x-\sin x)+3(\;{\rm ctg} x-\cos x)+5=0,}
         {2\left(\frac{\sin x}{\cos x}-\sin x\right)+3\left(\frac{\cos x}{\sin x}-\cos x\right)+5=0.}
          Так как в силу ОДЗ {\sin x\ne0} , {\cos x\ne0} , можем домножить на {\sin x\cos x} :
         {2(\sin^2 x-\sin^2 x\cos x)+3(\cos^2x-\sin x\cos^2 x)+5\sin x\cos x=0,}
         {2(\sin^2 x-\sin^2 x\cos x+\sin x\cos x)+3(\cos^2x-\sin x\cos^2 x+\sin x\cos x)=0,}
         {2\sin x(\sin x-\sin x\cos x+\cos x)+3\cos x(\cos x-\sin x\cos x+\sin x)=0,}
         {(2\sin x+3\cos x)(\sin x-\sin x\cos x+\cos x)=0,}
         {\left[\begin{array}{l} 2\sin x+3\cos \sin x-\sin x\cos x+\cos \end{array}\right.}
          Решим первое уравнение:
         {2\sin x+3\cos x=0,}
         {\;{\rm tg} x=-\frac32,}
         { -arctg}\frac32+\pi n.}
          Решим второе уравнение. Сделаем замену переменных {\sin x=u} , {\cos x=v} . Тогда
         {\left[\begin{array}{l} u+v=uv,\\ u^2+v^2=1, \end{array}\right.}
          Имеем: {(uv)^2=(u+v)^2=u^2+2uv+v^2=1+2uv} Отсюда
         {(uv)^2-2uv-1=0,}
         {uv=1\pm\sqrt2.}
          Получаем две системы:
         {\left\{\begin{array}{l} u+v=1+\sqrt2, \end{array}\right. \qquad\left\{\begin{array}{l} u+v=1-\sqrt2. \end{array}\right.}
          Из второго уравнения выразим {v} через {u} и подставим в первое уравнение. Получим квадратное уравнение. Решая его, получим, что первая система не имеет решений (дискриминант отрицателен), а вторая имеет решения {u,v} , по модулю меньшие 1. Тогда из равенства {uv=1-\sqrt2} получаем:
         {\sin x\cos x=1-\sqrt2,}
         {\sin2x=2-2\sqrt2,}
         {2x=(-1)^n\arcsin(2-2\sqrt2)+\pi n.}
          Осталось заметить, что решения первого и второго уравнения удовлетворяют ОДЗ.
  • Ответ

    • Ответ

    {-\;{\rm arctg}\frac32+\pi n} , {\frac12\cdot(-1)^n\arcsin(2-2\sqrt2)+\frac{\pi n}2}