Архив задач

4.11-10.2007

Найти все корни уравнения {|\sin(2x-1)|=\cos x} , удовлетворяющие условию {-\pi\le x\le\pi} .

  • Подсказка

    • Подсказка

    Избавиться от модуля путем возведения обеих частей равенства в квадрат, наложив дополнительные ограничения, и свести полученное уравнение к виду {f(x) \cdot g(x)=0} .
  • Решение

    • Решение

    Сначала решим исходное уравнение. Из уравнения следует, что {\cos x\ge0} . При этом условии, чтобы избавиться от модуля, возведем обе части уравнения в квадрат
    {|\sin(2x-1)|=\cos x,}

    {\sin^2(2x-1)=\cos^2 x,}

    {\frac{1-\cos(4x-2)}2=\frac{1+\cos2x}2,}

    {\cos(4x-2)+\cos2x=0,}

    {2\cos(3x-1)\cos(x-1)=0,}

    { \left[ \begin{array}{l} \cos(3x-1)=0,\\ \cos(x-1)=0, \end{array} \right. }

    { \left[ \begin{array}{l} 3x-1=\frac\pi2+\pi n,\\ x-1=\frac\pi2+\pi n, \end{array} \right. }

    { \left[ \begin{array}{l} n}3,\\ n. \end{array} \right. }

         Теперь найдем те корни уравнения, которые удовлетворяют условию {-\pi\le x\le\pi} . При этом учтем еще условие {\cos x\ge0} , из которого следует, что надо искать только те корни уравнения, которые удовлетворяют условию
    { -\frac\pi2\le x\le\frac\pi2. }

         1) Рассмотрим первую серию корней:
    { -\frac\pi2\le \frac13+\frac\pi6+\frac{\pi n}3 \le\frac\pi2 }

    { -3\pi\le 2+\pi+2\pi n \le 3\pi, }

    { -4\pi\le 2+2\pi n \le 2\pi, }

    { -2\pi\le 1+\pi n \le \pi. }
    Здесь очевидно, что подходят значения {n=-2,-1,0} . Соответствующие корни
    { \frac13+\frac\pi6-\frac{2\pi}3,\quad \frac13+\frac\pi6-\frac{\pi}3,\quad \frac13+\frac\pi6, }
    или
    { \frac13-\frac\pi2,\quad \frac13-\frac\pi6,\quad \frac13+\frac\pi6. }

         2) Рассмотрим вторую серию корней:
    { -\frac\pi2\le 1+\frac\pi2+\pi n \le\frac\pi2, }

    { -\pi\le 2+\pi+2\pi n \le\pi, }

    { -2\pi\le 2+2\pi n \le0, }

    { -\pi\le 1+\pi n \le0. }
    Здесь очевидно, что подходит только значение {n=-1} . Соответствующий корень
    { 1+\frac\pi2-\pi=1-\frac\pi2. }
  • Ответ

    • Ответ

    {\frac13-\frac\pi2,\quad \frac13-\frac\pi6,\quad \frac13+\frac\pi6,\quad 1-\frac\pi2} .