Архив задач

4.11-10.2006

Четырехугольник {PQRT} вписан в окружность. Длины его сторон { PQ } и RT } равны соответственно 9 и 6, а длины диагоналей {PR} и {QT} равны соответственно 8 и 10. Найти отношение площадей треугольника {PQR} и четырехугольника {PQRT} .

  • Подсказка

    • Подсказка

    Доказать подобие треугольников {PQL} и {LTR} и вычислить коэффициент подобия. Выразить искомое отношение через отрезки треугольников и коэффициент подобия.
  • Решение

    • Решение

    4.10_11.2006.jpg

    Пусть {L} - точка пересечения диагоналей четырехугольника {PQRT} . Нетрудно видеть, что треугольники {PQL} и {LTR} подобны по трем углам (углы {PLQ} и {TLR} равны как вертикальные, а углы {RPQ} и {QTR} равны как опирающиеся на одну дугу, аналогично угол {PQT} равен углу {PRT} ). При этом коэффициент подобия равен
    { }
    Обозначим {LT=x} . Тогда имеем {PL=kx} , {LR=PR-kx} , {LQ=QT-x} . Следовательно,
    { }
    откуда находим
    { PR-QT}{k^2-1}. }
    Обозначим угол {PLQ=\varphi} , значит угол {QLR} равен {\pi-\varphi} . Заметим, что
    { S_{PQR}=S_{PLQ}+S_{QLR}= }

    { =1/2 \cdot PL \cdot QL \cdot \sin \varphi+1/2 \cdot QL \cdot LR \cdot \sin(\pi-\varphi)= }

    { =1/2 \cdot PR \cdot LQ \cdot \sin\varphi. }
    Тогда
    { \frac{S_{PQR}}{S_{PQRT}}=\frac{1/2\cdot PR\cdot LQ\cdot\sin\varphi}{1/2\cdot PR\cdot QT\cdot\sin\varphi} =\frac{LQ}{QT}=\frac{QT-x}{QT}={} }

    { =1-\frac{\frac{k\cdot PR-QT}{k^2-1}}{QT}=1-\frac{\frac{k\cdot PR}{QT}-1}{k^2-1}. }
    Подставим числовые параметры задачи:
    { \frac{PR}{QT}=\frac8{10}=\frac45. }
    Получим
    { \frac{S_{PQR}}{S_{PQRT}}=1-\frac{\frac{3\cdot4}{2\cdot5}-1}{(3/2)^2-1}= 1-\frac{1/5}{5/4}=\frac{21}{25}. }
  • Ответ

    • Ответ

    {\frac{21}{25}} .