5.11-10.2006

Решить уравнение

${ x-|x-|x+1||=\sqrt{5-|2-|6-x||}. }$

Подсказка

Подсказка

Наложить ограничения на подкоренное выражение и выражение в левой части. При найденных значениях переменной упростить уравнение, сняв некоторые модули. Далее воспользоваться тем, что подкоренное выражение не превышает значения ${\sqrt{5}}$ , что позволит получит дополнительные ограничения. С учетом всех условий уравнение значительно упростится. Уравнение можно также решить, аккуратно раскрыв все 4 модуля и рассмотрев все необходимые случаи.

Решение

Решение

Сначала упростим уравнение. Его решения должны удовлетворять системе неравенств:

${ \left\{ \begin{array}{l} x-|x-|x+1||\ge0,\\ 5-|2-|6-x||\ge0, \end{array} \right. \quad\Leftrightarrow\quad \left\{ \begin{array}{l} |x-|x+1||\le x,\\ |2-|6-x||\le5. \end{array} \right. }$

Раскроем внешний модуль, воспользовавшись правилом

${|a|<b~ \Leftrightarrow~ -b<a<b}$ :

${ \left\{\begin{array}{l} \left\{\begin{array}{l} x-|x+1|\le x,\\ x-|x+1|\ge-x, \end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l} 2-|6-x|\le5,\\ 2-|6-x|\ge-5, \end{array}\right. \end{array}\right. \quad\Leftrightarrow\quad \left\{\begin{array}{l} \left\{\begin{array}{l} |x+1|\ge 0,\\ |x+1|\le2x, \end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l} |6-x|\ge-3,\\ |6-x|\le 8, \end{array}\right. \end{array}\right. \quad\Leftrightarrow\quad }$

${ \quad\Leftrightarrow\quad \left\{\begin{array}{l} |x+1|\le2x,\\ |6-x|\le 8. \end{array}\right. }$

Раскроем модули аналогично:

${ \quad\Leftrightarrow\quad \left\{\begin{array}{l} \left\{\begin{array}{l} x+1\le2x,\\ x+1\ge-2x, \end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l} 6-x\le 8,\\ 6-x\ge-8, \end{array}\right. \end{array}\right. \quad\Leftrightarrow\quad \left\{\begin{array}{l} \left\{\begin{array}{l} x\ge 1,\\ x\ge-1/3, \end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l} x\ge-2,\\ x\le14, \end{array}\right. \end{array}\right. \quad\Leftrightarrow\quad 1\le x\le 14. }$

Вернемся к исходному уравнению. На полученном множестве значений переменной левая часть уравнения существенно упрощается: