Архив задач

4.11-10.2005

Число {1+\sqrt2} является решением уравнения
{x^5+ax^3+bx^2+5x+2=0,}
где {a,b} - рациональные числа. Найти остальные решения этого уравнения.

  • Подсказка

    • Подсказка

    Воспользовавшись тем, что {1+\sqrt{2}} - иррациональный корень уравнения, определить {a} и {b} . Остальные решения уравнения найти, начав с перебора возможных рациональных корней, основываясь на теорему: если рациональное число {x_0=p/q} , где {p} целое, {q} натуральное число и дробь {p/q} несократима, является корнем уравнения {P(x)=0} , где
    { P(x)=a_n x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0 }
    - многочлен с целыми коэффициентами, то число {p} делит {a_0} , а число {q} делит {a_n} .
  • Решение

    • Решение

    Подставим число {1+\sqrt2} в уравнение:
    { (1+\sqrt2)^5+a(1+\sqrt2)^3+b(1+\sqrt2)^2+5(1+\sqrt2)+2=0. }
    Выполнив арифметические преобразования, получим равенство
    { (48+7a+3b)+(34+5a+2b)\sqrt2=0. }
    Так как {a,b} - рациональные числа, а {\sqrt2} - иррациональное число, то получаем систему
    { \left\{\begin{array}{l} 48+7a+3b=0,\\ 34+5a+2b=0. \end{array}\right. }
    Решая ее, находим {a=-6} , {b=-2} . Поэтому исходное уравнение принимает вид
    { x^5-6x^3-2x^2+5x+2=0. }
    Согласно теореме, упомянутой в указании, рациональные корни находятся среди чисел {p/q} , где {p} делит 2, {q} делит 1. Следовательно, рациональные корни могут быть числами {\pm1} , {\pm2} . Подставляя их в уравнение, находим корни 1, {-1} , {-2} и разложение
    { x^5-6x^3-2x^2+5x+2=(x-1)(x+1)(x+2)(x^2-2x-1). }
    Теперь уже нетрудно найти оставшийся корень {1-\sqrt2} .
  • Ответ

    • Ответ

    1, {-1} , {-2} , {1-\sqrt2} .