Архив задач

3.11-10.2004

Решить уравнение {\sqrt{|x^2+14x+47|-1}=|x+7|-1.}

  • Подсказка

    • Подсказка

    Выполнить замену {y=|x+7|} .
  • Решение

    • Решение

    Преобразуем уравнение к виду
    { \sqrt{|(x+7)^2-2|-1}=|x+7|-1. }

         Сделаем замену переменных {y=|x+7|} . Получим уравнение
    { \sqrt{|y^2-2|-1}=y-1. }

         Возведем в квадрат:
    { \left\{\begin{array}{l} y-1\ge0,\\ |y^2-2|-1=y^2-2y+1, \end{array}\right. }

    { \left\{\begin{array}{l} y\ge1,\\ |y^2-2|=y^2-2y+2. \end{array}\right. }

         Заметим, что правая часть уравнения всегда больше нуля. Поэтому получаем равносильную систему
    { \left\{\begin{array}{l} y\ge1,\\ \left[\begin{array}{l} y^2-2=y^2-2y+2,\\ y^2-2=-(y^2-2y+2), \end{array}\right. \end{array}\right. }

    { \left\{\begin{array}{l} y\ge1,\\ \left[\begin{array}{l} y=2,\\ y^2-y=0, \end{array}\right. \end{array}\right. \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{array}{l} y=1,\\ y=2. \end{array}\right. }

         Возвращаясь к исходной переменной, получаем
    { \left[\begin{array}{l} |x+7|=1,\\ |x+7|=2, \end{array}\right. }
    откуда {x=-9,-8,-6,-5} .
  • Ответ

    • Ответ

    {\{-9,-8,-6,-5\}} .