Архив задач

5.11-10.2004

Вокруг равнобедренной трапеции {ABCD} с большим основанием {AD} описана окружность радиуса 4. Биссектриса угла {B} проходит через центр описанной окружности и пересекает ее в точке {E} . Найти площадь треугольника {ACE} , если известно, что диагональ трапеции делит площадь трапеции в отношении {3:2} .

  • Подсказка

    • Подсказка

    Доказать, что {AE=CE} и {\angle AEC = \angle ADC} . Выразить искомую площадь через указанные элементы.
  • Решение

    • Решение


    5.10_11.2004.jpg
          Обозначим меньшее основание {BC} через {a} . Из условия следует, что {BC=AB=CD=a} . Поскольку диагональ трапеции делит ее на два треугольника с одинаковой высотой и разными основаниями, то по условию имеем {\frac{AD}{BC}=\frac32} , то есть {AD=\frac{3a}2} . Теперь можно найти высоту трапеции {h} и угол при основании трапеции.
         1) По теореме Пифагора
    { h=\sqrt{AB^2-\left(\frac{AD-BC}2\right)^2}= \sqrt{a^2-\left(\frac a4\right)^2}=\frac{a\sqrt{15}}4. }

         2) {\sin A=\frac{h}{AB}=\frac{\sqrt{15}}4} , {\cos A=\frac14} .
         Теперь для угла при верхнем основании:
    { \sin B=\sin A=\frac{\sqrt{15}}4, \quad \cos B=-\cos A=-\frac14. }
    Значит,
    { \sin(ABE)=\sin\frac B2=\sqrt{\frac{1-\cos B}2}=\sqrt{\frac58}. }
    Из прямоугольного треугольника {ABE} найдем {AE} :
    { AE=BE\cdot\sin(ABE)=8\cdot\sqrt{\frac58}=2\sqrt{10}. }

         Перейдем теперь к нахождению площади треугольника {ACE} . Нетрудно видеть, что треугольники {ABE} и {BCE} являются равными прямоугольными треугольниками, у которых равны гипотенузы и один из катетов. Значит, {AE=CE=2\sqrt{10}} . Кроме того, угол {AEC} равен углу {ADC} (угол {D} ), так как они опираются на одну дугу. Поэтому
    { S_{ACE}=\frac12 \cdot AE \cdot CE \cdot \sin AEC=\frac12\cdot AE^2\cdot\sin D=\frac12\cdot40\cdot\frac{\sqrt{15}}4=5\sqrt{15}. }
  • Ответ

    • Ответ

    {5\sqrt{15}} .