Архив задач

3.11-10.2003

Решить уравнение
{ \sin x+\frac{5\cos2x+2{\rm ctg} x+1}{2\sin x+\cos x}=\frac1{\sin x}. }

  • Подсказка

    • Подсказка

    Избавиться от знаменателей и воспользоваться универсальной тригонометрической подстановкой (т.е. {\sin 2x, \cos 2x} выразить через {{\rm ctg} x} ).
  • Решение

    • Решение

    ОДЗ уравнения определяется условиями
    { \left\{\begin{array}{l} \sin x\ne0,\\ {\rm ctg} x\ne-2. \end{array}\right. }
    После простейших преобразований получим уравнение
    { 2\sin^2 x+\sin x\cos x+5\cos2x+2{\rm ctg} x+1=2+{\rm ctg} x, }

    { 2\sin^2 x+\frac12\sin2x+5\cos2x+{\rm ctg} x-1=0, }

    { \frac12\sin2x+4\cos2x+{\rm ctg} x=0. }
    Воспользуемся формулами, выражающими {\sin2x} , {\cos2x} через {{\rm ctg} x} (эти формулы называют универсальной тригонометрической подстановкой):
    { \frac{{\rm ctg} x}{1+{\rm ctg}^2 x}-4\cdot\frac{1-{\rm ctg}^2 x}{1+{\rm ctg}^2 x}+{\rm ctg} x=0, }

    { {\rm ctg}^3 x+4{\rm ctg}^2 x+2{\rm ctg} x-4=0, }

    { ({\rm ctg} x+2)({\rm ctg}^2 x+2{\rm ctg} x-2)=0, }

    { \left[\begin{array}{l} {\rm ctg} x=-2,\\ {\rm ctg} x=-1-\sqrt3,\\ {\rm ctg} x=-1+\sqrt3. \end{array}\right. }

         Непосредственной проверкой убеждаемся, что ОДЗ удовлетворяют только вторая и третья серии. Значит, {x={\rm arcctg}(-1\pm\sqrt3)+\pi n} , или, что тоже, {x=\frac{\pi}{2}-{\rm arctg}(-1\pm\sqrt3)+\pi n, n\in \mathbb Z} .
  • Ответ

    • Ответ

    {\frac{\pi}{2}-{\rm arctg}(-1\pm\sqrt3)+\pi n, n\in \mathbb Z} .