4.11-10.2003

Равнобедренная трапеция с основанием ${\sqrt6}$ и боковой стороной 2 вписана в окружность радиуса ${\sqrt2}$ . Найти площадь трапеции.

Подсказка

Подсказка

Используя теорему синусов определить параметры треугольников ${ABC}$ и ${ACD}$ . При вычислении искомой площади воспользоваться равенством ${\sin 75^\circ = \sin (45^\circ+30^\circ)}$ .

Решение

Решение

Пусть ${AB=CD=2}$ , ${\angle CAD=\alpha}$ , ${\angle CAB=\beta}$ . Тогда по теореме синусов из треугольника ${CAD}$

${ \frac{CD}{\sin\alpha}=2R,\quad \sin\alpha=\frac{CD}{2R}=\frac2{2\sqrt2}=\frac1{\sqrt2}, }$

откуда ${\alpha=45^\circ}$ .
Если меньшее основание трапеции ${BC=\sqrt6}$ , то по теореме синусов из треугольника ${CAB}$

${ \frac{BC}{\sin\beta}=2R,\quad \sin\alpha=\frac{BC}{2R}=\frac{\sqrt6}{2\sqrt2}=\frac{\sqrt3}2, }$

откуда ${\beta=60^\circ}$ . Тогда угол при большем основании трапеции равен ${105^\circ}$ тупой. Противоречие.
Значит, большее основание трапеции ${AD=\sqrt6}$ . По теореме синусов из треугольника ${CAD}$

${ \frac{AD}{\sin ACD}=2R,\quad \sin }$

откуда ${\angle ACD=60^\circ}$ . Получаем, что угол при меньшем основании трапеции равен ${105^\circ}$ , а при большем основании ${75^\circ}$ . Отсюда ${\beta=30^\circ}$ .
Теперь из треугольника ${ABC}$ по теореме синусов получаем, что