Архив задач

5.11-10.2003

Пусть {\alpha} , {\beta} , {\gamma} - величины углов остроугольного треугольника. Доказать справедливость неравенства
2. }" alt="{ \sin^2\alpha+\sin^2\beta+\sin^2\gamma>2. }">

  • Подсказка

    • Подсказка

    Учесть {\alpha,\;\beta,\;\gamma<\frac{\pi}{2}} и {\alpha+\beta+\gamma=\pi} . Воспользоваться формулами понижения степени и суммы косинусов.
  • Решение

    • Решение

    Применим формулу понижения степени:
    { \frac{1-\cos2\alpha}2+\frac{1-\cos2\beta}2+\frac{1-\cos2\gamma}2>2, }

    { \cos2\alpha+\cos2\beta+\cos2\gamma<-1. }
    Иными словами, необходимо доказать справедливость неравенства
    { \cos2\alpha+\cos2\beta+\cos2\gamma+1<0. }
    Заметим, что {\alpha+\beta+\gamma=\pi} , поэтому
    { \cos(\alpha+\beta)=\cos(\pi-\gamma)=-\cos\gamma. }
    Пользуясь этим, получаем
    { (\cos2\alpha+\cos2\beta)+(\cos2\gamma+1)= }

    { =2\cos(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta)+2\cos^2\gamma= }

    { =2\cos\gamma(-\cos(\alpha-\beta)+\cos\gamma)= }

    { =2\cos\gamma(-\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta))= }

    { =-4\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma. }

         Таким образом, исходное неравенство равносильно неравенству
    { \cos\alpha\cos\beta\cos\gamma>0. }
    Последнее неравенство выполняется для любых остроугольных треугольников, поскольку из {\alpha,\;\beta,\;\gamma<\frac{\pi}{2}} следует {\cos \alpha,\; \cos \beta, \; \cos \gamma \; > 0} .
  • Ответ

    • Ответ

    см.решение.