Архив задач

2.11-10.2002

Решить неравенство {\frac{\sqrt{2-x}+4x-3}{x}\ge2} .

  • Подсказка

    • Подсказка

    Свести неравенство к виду {f(x)\geq 0} и на ОДЗ применить метод интервалов.
  • Решение

    • Решение

    ОДЗ неравенства
    { \left\{\begin{array}{l} 2-x\ge0,\\ x\ne0 \end{array}\right. \quad\Leftrightarrow\quad x\in(-\infty,0)\cup(0,2]. }
    Приведем к общему знаменателю:
    { f(x)=\frac{\sqrt{2-x}+2x-3}{x}\ge0. }
    Такое неравенство можно решить методом интервалов. Для этого найдем корни числителя:
    { \sqrt{2-x}+2x-3=0, }

    { \sqrt{2-x}=-2x+3, }

    { \left\{\begin{array}{l} -2x+3\ge0,\\ 2-x=(-2x+3)^2 \end{array}\right. \quad\Leftrightarrow\quad \left\{\begin{array}{l} x\le3/2,\\ 4x^2-11x+7=0 \end{array}\right. }

    { \Leftrightarrow\quad \left\{\begin{array}{l} x\le3/2,\\ \end{array}\right. \quad\Leftrightarrow\quad }
    Теперь действительная прямая, с учетом ОДЗ, разбивается на интервалы:
    { (-\infty,0)\cup(0,1)\cup(1,2). }

         
    2.10_11.2002.jpg
         Выбирая по точке из каждого интервала и исследуя отдельно концы интервалов, получим ответ: {x\in(-\infty,0)\cup[1,2]}.
  • Ответ

    • Ответ

    {(-\infty,0)\cup[1,2]} .