Архив задач

3.11.2002

Решить уравнение
{ \log_2\left(\cos2x+\cos\frac x2\right) + \log_{1/2}\left(\sin x+\cos\frac x2\right)=0. }

  • Подсказка

    • Подсказка

    Избавиться от логарифма, привести уравнение к тригонометрическому и выполнить замену {y=\sin x} .
  • Решение

    • Решение

    ОДЗ уравнения определяется условиями
    { \left\{\begin{array}{l} \cos2x+\cos\frac x2>0,\\ \sin x+\cos\frac x2>0. \end{array}\right. }
    Преобразуем уравнение:
    { \log_2\left(\cos2x+\cos\frac x2\right) - \log_2\left(\sin x+\cos\frac x2\right)=0, }

    { \cos2x+\cos\frac x2= \sin x+\cos\frac x2, }

    { \cos2x-\sin x=0, }

    { 1-2\sin^2 x-\sin x=0, }

    { 2\sin^2 x+\sin x-1=0, }

    { \sin x=-1,\quad\sin x=1/2. }
    Получаем три серии решений
    { \left[\begin{array}{l} x_1=-\frac\pi2+2\pi n,\\ x_2=\frac\pi6+2\pi n,\\ x_3=\frac{5\pi}6+2\pi n \end{array}\right. }
    Проверим каждую из них на ОДЗ.
         1. Если {x_1=-\frac\pi2+2\pi n} , то не выполнено условие {\sin x+\cos\frac x2>0} .
         2. Если {x_2=\frac\pi6+4\pi n} , то оба условия ОДЗ выполнены.
         3. Если {x_2=\frac\pi6+2\pi+4\pi n} , то {\cos\frac x2=-\cos\frac\pi{12}<-\frac12} , и, следовательно, условие {\sin x+\cos\frac x2>0} не выполнено.
         4. Если {x_3=\frac{5\pi}6+4\pi n} , то {\cos\frac x2=\cos\frac{5\pi}{12}>0} и {\cos2x=\cos\frac{5\pi}3>0} , поэтому оба условия ОДЗ выполнены.
         5. Если {x_3=\frac{5\pi}6+2\pi+4\pi n} , то {\cos\frac x2=-\cos\frac{5\pi}{12}>-\frac12} и {\cos2x=\cos\frac{5\pi}3=\frac12} , поэтому оба условия ОДЗ выполнены.
         В ответ входят серии решений из пп.2 и 5.
  • Ответ

    • Ответ

    {\frac\pi6+4\pi n} , {\frac{5\pi}6+2\pi n, n \in \mathbb Z} .