Архив задач

4.11-10.2002

Найти все решения системы уравнений
{ \left\{\begin{array}{l} \sqrt{y+7x}-\sqrt{y+2x}=4,\\ 2\sqrt{y+2x}-\sqrt{5x+8}=2. \end{array}\right. }

  • Подсказка

    • Подсказка

    Выполнить замену {a=\sqrt{y+7x},\;b=\sqrt{y+2x},\;c=\sqrt{5x+8}} и составить новую систему уравнений, добавив к исходной системе уравнение, связывающее квадраты введенных неизвестных.
  • Решение

    • Решение

    Введем новые переменные
    { a=\sqrt{y+7x},\;b=\sqrt{y+2x},\;c=\sqrt{5x+8}. }
    Тогда {a,b,c\ge0} . Заметим, что
    { a^2-b^2=5x,\; c^2=5x+8, }
    откуда {a^2-b^2-c^2=-8} . Получаем систему уравнений
    { \left\{\begin{array}{l} a-b=4,\\ 2b-c=2,\\ a^2-b^2-c^2=-8. \end{array}\right. }
    Выразим {a} и {c} из первых двух уравнений и подставим в третье:
    { \left\{\begin{array}{l} a=b+4,\\ c=2b-2,\\ (b+4)^2-b^2-(2b-2)^2=-8. \end{array}\right. }
    Решим последнее уравнение:
    { -4b^2+16b+20=0, }

    { b^2-4b-5=0, }

    { b_1=5,\;b_2=-1. }
    Последнее решение не удовлетворяет условию {b\ge0} . Остается решение {b=5} . Тогда {a=9} , {c=8} . Вернемся к исходным переменным:
    { \left\{\begin{array}{l} \sqrt{y+7x}=9,\\ \sqrt{y+2x}=8. \end{array}\right. }
    Отсюда {x=56/5} , {y=13/5} .
  • Ответ

    • Ответ

    {(56/5,13/5)} .