Архив задач

7.11-10.2002

Угол при основании равнобедренного треугольника равен {\frac\pi6} . Построен круг радиуса {\frac{2}{\sqrt3}} с центром в вершине треугольника, противолежащей основанию. Определить отношение площади общей части треугольника и круга к площади треугольника, если длина медианы, проведенной к боковой стороне, равна {\sqrt7} .

  • Подсказка

    • Подсказка

    Применить теоремы синусов и косинусов для треугольников {ABC} и {AMC} соответственно. Определить количество сторон треугольника, которые пересекает указанная окружность.
  • Решение

    • Решение

    Сначала рассчитаем треугольник {ABC} . 7_1.10_11.2002.jpg
    По условию углы {A} и {C} равны {\pi/6} , медиана {AM=\sqrt7} . По теореме синусов для треугольника {ABC}
    { \frac{AB}{\sin C}=\frac{AC}{\sin B},\quad \frac{AB}{\sin\pi/6}=\frac{AC}{\sin2\pi/3}, }
    откуда {AC=AB\cdot\sqrt3} .
         По теореме косинусов для треугольника {AMC}
    { AM^2=AC^2+CM^2-2\cdot AC\cdot CM\cos C, }

    { 7=(AB\cdot\sqrt3)^2+(AB/2)^2-2(AB\cdot\sqrt3)\cdot(AB/2)\cos\frac\pi6, }
    откуда {AB=2} . Следовательно, {AC=2\sqrt3} .
         Высота, опущенная из вершины {B} , равна
    { h=AB\cdot\sin A=2\sin\frac\pi6=1. }
    Площадь треугольника {ABC} :
    { S_{ABC}=\frac12\,AC\cdot h=\sqrt3. }

         Заметим, что радиус круга {\frac2{\sqrt3}} из условия задачи больше высоты {h=1} , но меньше боковой стороны {AB=2} . Поэтому чертеж к задаче имеет вид
    7_2.10_11.2002.jpg
    Здесь
    { BK=BL=BP=BN=R=\frac2{\sqrt3}. }
    Общая часть треугольника и круга - это сектор {KBN} без сегмента {LP} .
         Площадь сектора равна
    { S_1=\frac{2\pi}6\,R^2=\frac{4\pi}9. }
    Найдем площадь сегмента. Для этого из треугольника {BLP} найдем угол {\alpha=LBP} . Так как треугольник {BLP} равнобедренный с боковой стороной {R} и высотой {h=1} , то {\cos\frac\alpha2=\frac{\sqrt3}2} и {\alpha=\frac\pi3} . Теперь площадь сегмента {LP} равна
    { S_2=\frac12\,R^2(\alpha-\sin\alpha)=\frac{2\pi}9-\frac{\sqrt3}3. }
    Окончательно получаем площадь общей части
    { S_1-S_2=\frac{2\pi}9+\frac{\sqrt3}3. }

         Теперь можно найти отношение площадей
    { \frac{S_1-S_2}{S_{ABC}}=\frac{2\pi}{9\sqrt3}+\frac13. }
  • Ответ

    • Ответ

    {\frac{2\pi}{9\sqrt3}+\frac13} .