Архив задач

6.11-10.2001

Найти все такие целые числа {a} и {b} , для которых один из корней уравнения
{ 3x^3+ax^2+bx+12=0 }
равен {1+\sqrt 3} .

  • Подсказка

    • Подсказка

    Подставить известный корень в левую часть уравнения и получить 2 уравнения относительно неизвестных {a} и {b} .
  • Решение

    • Решение

    Подставим {1+\sqrt 3} в левую часть уравнения:
    { 3(1+\sqrt 3)^3 + a(1+\sqrt 3)^2 + b(1+\sqrt 3)+12=0. }
    Раскроем скобки и приведем подобные члены:
    { \sqrt 3(9+9+2a+b) + (3+27+a+3a+b+12)=0; }

    { \sqrt 3(18+2a+b)+(42+4a+b)=0. }
    Обозначим {18+2a+b=A} , {42+4a+b=B} . Очевидно, что {A} и {B} - целые числа. Покажем, что {A=B=0} . Действительно, если {A\ne 0} , то имеем {\sqrt 3=-\frac {B}{A},} откуда следует, что {\sqrt 3} - рациональное число, что неверно. Таким образом, {A=0} и, следовательно, {B=0} . Имеем систему уравнений относительно неизвестных {a} и {b} :
    {\left\{ \begin{array}{l} 18+2a+b=0\\ 42+4a+b=0 \end{array} \right.. }
    Решая ее, находим ответ {a=-12,\; b=6} .
  • Ответ

    • Ответ

    {a=-12,\; b=6} .