Архив задач

8.11-10.2001

Дана арифметическая прогрессия, состоящая из целых чисел. Известно,
что разность прогрессии равна 101, а число членов прогрессии -- 102.
Можно ли изменить знаки у некоторых членов прогрессии так, чтобы
сумма полученных 102 чисел равнялась нулю? Ответ обосновать

  • Подсказка

    • Подсказка

    Показать, что сумма всех членов прогрессии -- нечетное число. Предположив, что указанная замена знаков возможна, придти к противоречию.
  • Решение

    • Решение

    Обозначим {S_{102}=a_1+\ldots +a_{102}} . По формуле суммы арифметической прогрессии получаем:
    { S_{102}=\frac{2a_1+d(102-1)}{2}\cdot 102=(2a_1+101^2)\cdot 51. }
    Следовательно, {S_{102}} - нечетное число. Предположим, мы смогли изменить знаки некоторых членов прогрессии так, чтобы сумма полученных 102 чисел равнялась нулю. Обозначим {B} сумму тех членов, у которых мы изменили знаки и {A} - сумму остальных членов. Тогда {A+B=S_{102}} ,а {A-B=0} . Отсюда {2A=S_{102}} , что противоречит нечетности {S_{102}} .
  • Ответ

    • Ответ

    Нельзя.