Архив задач

1.11-10.2000

Решить неравенство
{ x-4<\frac{x^2}{(1+\sqrt{1+x})^2}. }

  • Подсказка

    • Подсказка

    Выполнить замену {t=\sqrt{1+x}} .
  • Решение

    • Решение

    ОДЗ выражается неравенством {1+x\geq0} , т.е. {x\geq-1} .
         Выполним замену {t=\sqrt{1+x}} , т.е. {x=t^2-1} при {t\geq0} . Тогда исходное неравенство преобразуется к виду
    { t^2-5<\frac{(t^2-1)^2}{(1+t)^2}. }
    Замечая, что {(t^2-1)^2=(t-1)^2(t+1)^2} , получим
    { t^2-5<(t-1)^2, }

    { t^2-5<t^2-2t+1, }

    { 2t-6<0, }

    { t<3. }

         Значит, {0\leq t<3} , т.е. {0\leq \sqrt{1+x}<3} , откуда путем возведения в квадрат получим {0\leq 1+x<9} . В итоге {-1\leq x < 8} .
  • Ответ

    • Ответ

    {x \in [-1;8)} .