Архив задач

8.11-10.2000

Биссектрисы внутреннего и внешнего углов {C} треугольника {ABC} пересекают прямую {AB} в точках {L} и {M} соответственно. Известно, что {CL=CM} , а {R} - радиус окружности, описанной около треугольника {ABC} . Доказать, что {AC^2+BC^2=4R^2} .

  • Подсказка

    • Подсказка

    Воспользоваться тем, что угол между биссектрисами внутреннего и внешнего углов треугольника равен {\pi/2} . Выразить углы треугольника {ABC} через половину угла {\angle C} . Применить теорему синусов.
  • Решение

    • Решение

     8.10_11.2000.jpg

    Несложно увидеть, что угол между биссектрисами внутреннего и внешнего углов треугольника равен {\pi / 2} . Значит, треугольник {MCL} - прямоугольный равнобедренный и {\angle CML=\pi/4} . Обозначим {\angle BCL=\alpha.} Тогда углы треугольника {ABC} : {\angle C=2\alpha,} {\angle B=3\pi/4-\alpha,} {\angle A=\pi/4-\alpha.}

         По теореме синусов имеем:
    { \frac{AC}{\sin\angle B}=\frac{BC}{\sin\angle A}=2R. }
    Тогда
    { (\pi/4-\alpha)}{\sin (3\pi/4-\alpha)}=AC{\rm tg}(\pi/4-\alpha). }
    Следовательно,
    { AC^2+BC^2=AC^2(1+{\rm tg}^2(\pi/4-\alpha))=\frac{AC^2}{\cos^2 (\pi/4-\alpha)}=\frac{AC^2}{\sin^2 (3\pi/4-\alpha)}=\frac{AC^2}{\sin^2 \angle B}=4R^2. }
  • Ответ

    • Ответ

    см.решение.