Архив задач

3.11-10.1999

Найти все решения уравнения
{ \sqrt{1-\sin2x}-\sqrt2\cdot\cos3x=0, }
заключенные между {\pi} и {3\pi/2} .

  • Подсказка

    • Подсказка

    Избавиться от иррациональности и решить полученное уравнение.
  • Решение

    • Решение

    ОДЗ уравнения определяется условием {\sin 2x\leq1} , что верно при любом {x\in \mathbb R} .
         Перепишем исходное уравнение в виде {\sqrt{1-\sin2x}=\sqrt2\cdot\cos3x} . Наложив ограничения на правую часть уравнения и избавившись от иррациональности, получим систему
    { \left\{\begin{array}{l} 1-\sin 2x=2 \cdot \cos^2 {3x},\\ \cos 3x \geq0. \end{array}\right. }
    Используя формулу понижения степени, первое уравнение системы примет вид:
    { 1-\sin 2x=1+\cos 6x, }
    тогда
    { \sin 2x+\cos 6x=0, }

    { \sin 2x+\sin(\frac{\pi}{2}-6x)=0, }

    { 2\sin(\frac{\pi}{4}-2x) \cos(4x-\frac{\pi}{4})=0. }
    Из последнего уравнения получаем совокупность
    { \left[\begin{array}{l} \sin(\frac{\pi}{4}-2x)=0\\ \cos(4x-\frac{\pi}{4})=0 \end{array}\right. \; \Rightarrow \; \left[\begin{array}{l} \frac{\pi}{4}-2x=-\pi n\\ 4x-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+\pi m \end{array}\right. \; \Rightarrow \; \left[\begin{array}{l} x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n} 2\\ x=\frac{3 \pi}{16}+\frac{\pi m}{4} \end{array}\right., }
    где {n,m \in \mathbb Z} .
         Выясним, какие решения заключены между {\pi} и {3\pi/2} .
         1) Если {x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n} 2} , то
    { \pi<\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2}<\frac{3 \pi}{2}, }

    { \frac{7\pi}{8}<\frac{\pi n}{2}<\frac{11\pi}{8}, }

    { \frac{7}{4}<n<\frac{11}{4}. }
    Последнему неравенству удовлетворяет одно целое число {n=2} , следовательно {x=\frac{9\pi}{8}} .
         2) Если {x=\frac{3 \pi}{16}+\frac{\pi m}{4}} , то
    { \pi<\frac{3 \pi}{16}+\frac{\pi m}{4}<\frac{3 \pi}{2}, }

    { \frac{13\pi}{16}<\frac{\pi m}{4}<\frac{21\pi}{6}, }

    { \frac{13}{4}<m<\frac{21}{4}. }
    Последнему неравенству удовлетворяют только два целых числа {m=4} и {m=5} , т.е. {x=\frac{19\pi}{16}} и {x=\frac{23\pi}{16}} .
         В итоге получаем три решения
    { \left[\begin{array}{l} x=\frac{9\pi}{8},\\ x=\frac{19\pi}{16},\\ x=\frac{23\pi}{16}. \end{array}\right. }
    Непосредственной проверкой убеждаемся, что неравенству {\cos 3x \geq0} удовлетворяют только второе и третье решения, значит, искомые решения {x\in\{\frac{19\pi}{16};\frac{23\pi}{16}\}} .
  • Ответ

    • Ответ

    {\{\frac{19\pi}{16};\frac{23\pi}{16}\}}