6.11-10.1999

Середины высот треугольника ${ABC}$ лежат на одной прямой. Наибольшая сторона этого треугольника равна 10. Какое наибольшее значение может принимать при этом площадь треугольника ${ABC}$ ?

Подсказка

Решение

Решение

1) Сначала докажем, что треугольник ${ABC}$ , удовлетворяющий условию задачи, является прямоугольным. Нетрудно заметить, что середина высоты треугольника лежит на прямой, являющейся средней линией треугольника. Поэтому середины высот треугольника ${ABC}$ лежат на трех различных средних линиях этого треугольника. По условию середины высот треугольника ${ABC}$ лежат на одной прямой. Следовательно, эта прямая - одна из средних линий треугольника. Если ни одна из высот треугольника не совпадает с его стороной, то это невозможно. Поэтому одна из высот треугольника совпадает с его стороной. Это означает, что треугольник прямоугольный. В случае прямоугольного треугольника середины высот действительно лежат на одной прямой - средней линии, параллельной гипотенузе треугольника.
2) Итак, ${ABC}$ - прямоугольный треугольник. Тогда из условия задачи известна гипотенуза ${ABC}$ , равная 10. Осталось определить, какое наибольшее значение может принимать площадь прямоугольного треугольника ${ABC}$ с известной гипотенузой. Обозначим катеты треугольника через ${a}$ , ${b}$ . Тогда

${ a^2+b^2=100. }$

Площадь треугольника равна

${ S=\frac12\,ab. }$

Вместо того, чтобы выяснять, когда максимальна площадь ${S}$ , будем выяснять, когда максимальна величина

${ 4S^2=a^2b^2=a^2(100-a^2). }$

Обозначим ${a^2=x}$ , ${0\le x\le 100}$ . Тогда

${ 4S^2=x(100-x)=100x-x^2. }$

График функции ${f(x)=100x-x^2}$ представляет собой параболу, ветви которой направлены вниз. Максимальное значение функция принимает в вершине параболы, при ${x=50}$ . Это значение ${x}$ удовлетворяет условиям ${0\le x\le 100}$ .
Таким образом, ${x=50}$ , тогда ${a=5\sqrt2}$ , отсюда ${b=5\sqrt2}$ , и площадь

${ S=\frac12\,ab=25. }$

Ответ

6.11-10.1999

Подсказка

Решение

Ответ