Основанием треугольной пирамиды SABC служит правильный треугольник ABC со стороной 4. Известно, что для произвольной точки M на продолжении высоты пирамиды SH (точка S находится между точками M и H ) углы MSA, MSB, MSC, ASB, ASC и BSC равны между собой. Построен шар радиуса 1 с центром в точке S. Найдите объём общей части пирамиды SABC и шара (объём шара радиуса R вычисляется по формуле ).
Выберем точку M (из условия задачи) так, что MA=4. Тогда точка S будет являться центром описанного шара около правильного тетраэдра MABC. Следовательно, каждая из четырёх одинаковых пирамид SABC, SMAB, SMAC, SABC будет отсекать от шара радиуса 1 с центром в точке S одинаковую часть. Нетрудно подсчитать, что расстояние от точки S до плоскости ABC равно . Так как , то для нахождения объёма общей части пирамиды SABC и шара радиуса R=1 с центром в точке S нужно из четверти объёма шара вычесть объём шарового сегмента высотой . Как известно, последний находится по формуле . Для получаем . Отсюда искомый объём равен